"Wahrscheinlichkeitstheorie"

  • Fachrichtung:Physik
  • Studienfach:Physik
  • Thema:
    Wahrscheinlichkeitstheorie
  • Art der Arbeit:Hausarbeit
  • Seitenzahl:7
  • Einzigartigkeit:99%
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Inhaltsverzeichnis

Einleitung. 2

  1. Wahrscheinlichkeitsbegriffe. 2
  2. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit 3
  3. Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie. 5

Fazit 5

Literaturverzeichnis. 6

Anhang. 7

 

 

 

Einleitung

Viele Menschen lieben die Mathematik wegen ihrer ewigen Wahrheiten: zweimal zwei ist immer vier, die Summe der geraden Zahlen ist eine gerade Zahl, und die Fläche eines Rechtecks ​​entspricht dem Produkt der Seitenlängen.

Das wirkliche Leben ist nicht so einfach und unkompliziert. Die Ergebnisse vieler Phänomene können nicht im Voraus vorhergesagt werden, egal wie vollständig die Informationen über sie sind. Es ist zum Beispiel unmöglich zu sagen, auf welche Seite die geworfene Münze fallen wird, wann der erste Schnee im nächsten Jahr fällt oder wie viele Leute in der Stadt in der nächsten Stunde anrufen wollen. Solche unvorhersehbaren Ereignisse werden zufällige Ereignisse genannt. Solche Gesetzmäßigkeiten werden von einem speziellen Zweig der Mathematik untersucht – der Wahrscheinlichkeitstheorie.[1]

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist untrennbar mit dem Alltag verbunden. Dies bietet eine wunderbare Gelegenheit, viele Wahrscheinlichkeitsgesetze empirisch zu etablieren und zufällige Experimente viele Male zu wiederholen.

Das Ziel der Arbeit ist es, die Wahrscheinlichkeitsbegriffe zu betrachten.

 

1. Wahrscheinlichkeitsbegriffe

Wie jeder andere Zweig der Mathematik verfügt auch die Wahrscheinlichkeitstheorie über einen eigenen konzeptuellen Apparat, mit dem Definitionen formuliert, Theoreme bewiesen und Formeln abgeleitet werden.

Versuch ist die Implementierung einer Reihe von Bedingungen. Versuchergebnis (Elementarereignis) ist jedes Ergebnis, das während des Versuchs auftreten kann.

Versuchbeispiel 1: Ein Würfel wird geworfen.

Versuchergebnisse:

ω1 – ein Punkt erscheint auf der oberen Seitenfläche des Würfels;

ω2 – zwei Punkte erschienen auf der oberen Seitenfläche des Würfels;

ω3 – drei Punkte erschienen auf der oberen Seitenfläche des Würfels;

ω4 – vier Punkte erschienen auf der oberen Seitenfläche des Würfels;

ω5 – fünf Punkte erschienen auf der oberen Seitenfläche des Würfels;

ω6 – sechs Punkte erschienen auf der oberen Seitenfläche des Würfels.

Insgesamt sind sechs Versuchergebnisse (oder sechs Elementarereignisse) möglich.

Die Ergebnisse dieses Versuches sind gleich wahrscheinlich, wenn die Ergebnisse des Experiments die gleichen Eintrittswahrscheinlichkeiten aufweisen.

Elementare Ereignisse sind die Menge aller elementaren Ereignisse, die während eines Versuches auftreten können.

In diesen Beispielen wurden die elementaren Ereignisräume der Versuche beschrieben.

Ein homogener Versuch ist eine mehrfache Wiederholung eines Versuches unter denselben Bedingungen. Nun ist es möglich, den Themenbereich, mit dem sich die Wahrscheinlichkeitstheorie befasst, genauer zu definieren.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht die Gesetzmäßigkeiten, die bei der Durchführung homogener Versuche auftreten.

Ein Ereignis ist ein Komplex einer bestimmten Anzahl von Punkten im Raum elementarer Ereignisse.[2]

Ein Ereignis, das während eines Versuches auftreten kann oder nicht, wird als zufälliges Ereignis bezeichnet. Jedes Elementarereignis ist auch ein zufälliges Ereignis.

Ein Ereignis, das bei einem Versuchergebnis auftritt, wird als sicheres Ereignis bezeichnet.

Ein Ereignis, das für kein Versuchergebnis auftreten kann, wird als unmögliches Ereignis bezeichnet.

Versuchbeispiel 2: Ein Würfel wird geworfen.

Versuchergebnisse:

Ereignis A: Eine gerade Anzahl von Punkten fiel auf der oberen Seitenfläche des Würfels aus.

Ereignis B: Auf der oberen Seitenfläche des Würfels ist die Anzahl der Punkte, die ein Vielfachen von 3 sind.

Ereignis C: Die Anzahl von Punkten ist sieben.

Ereignis D: Die Anzahl der Punkte beträgt weniger als 7.

Die Ereignisse A und B können während des Versuches auftreten oder nicht, es handelt sich also um zufällige Ereignisse.[3]

Ereignis C kann niemals eintreten, daher ist es ein unmögliches Ereignis.

Ereignis D tritt bei jedem Testergebnis auf, was bedeutet, dass dies ein zuverlässiges Ereignis ist.[4]

2. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit

Es wurde zuvor angenommen, dass zufällige Ereignisse unter den gleichen Bedingungen auftreten können oder nicht. Gleichzeitig haben einige zufällige Ereignisse mehr Chancen (was bedeutet, dass sie wahrscheinlicher sind, d.h., näher an zuverlässigen liegen), während andere weniger Chancen haben (sie sind weniger wahrscheinlich, das heißt, sie sind näher an unmögliche Ereignisse). Daher ist es in erster Näherung möglich, die Wahrscheinlichkeit als Grad der Möglichkeit des Auftretens eines bestimmten Ereignisses zu bestimmen.[5]

Es ist klar, dass wahrscheinlichere Ereignisse häufiger auftreten als weniger wahrscheinliche. So können Wahrscheinlichkeiten anhand der Häufigkeit verglichen werden, mit der Ereignisse auftreten.[6]

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es verschiedene Definitionen der Wahrscheinlichkeit (abhängig von den Bedingungen der Versuche).

Der Versuch wird unter folgenden Bedingungen durchgeführt:

  • Die Anzahl der Testergebnisse ist endlich (gleich n)
  • Die Ergebnisse der Studie sind inkonsistent
  • Die Ergebnisse der Studie sind gleichermaßen möglich.

Die aufgeführten Bedingungen bilden das sogenannte klassische Schema zum Versuch.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im klassischen Schema ist eine Zahl, die dem Verhältnis der Anzahl der für ein bestimmtes Ereignis günstigen Versuchsergebnisse zur Anzahl aller Versuchsergebnisse entspricht.

Normalerweise wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A mit P (A) bezeichnet. Auf diese Weise,

,

wobei m – die Anzahl der für Ereignis A günstigen Versuchsergebnisse ist, n – die Anzahl aller Ergebnisse für einen bestimmten Versuch.

Aufgabe: Der Teilnehmer vergaß die letzte Ziffer der Telefonnummer und wählte sie zufällig, wobei er sich nur daran erinnerte, dass diese Ziffer ungerade ist. Es ist notwendig, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der die Nummer richtig gewählt wird.[7]

Lösung: Es wird der vorgeschlagene Algorithmus verwendet.

1) Eine der ungeraden Ziffern wird zufällig ausgewählt.

2) Jedes Elementarereignis ω ist das Auftreten einiger der ungeraden Ziffern. Da es nur 5 ungerade Ziffern gibt, ist n = 5.

3) Die Bedingungen des klassischen Schemas werden überprüft:

  1. a) Die Anzahl der Testergebnisse beträgt natürlich n = 5;
  2. b) Da bei Auswahl einer Ziffer nicht zwei verschiedene Ziffern gleichzeitig angezeigt werden können, sind die Testergebnisse inkonsistent;
  3. c) Da die Auswahl zufällig getroffen wird, ist die Chance, eine bestimmte Ziffer auszuwählen, für jede Ziffer gleich, d.h. die Ergebnisse der Versuche sind gleichermaßen möglich. Damit sind alle Bedingungen des klassischen Schemas des Versuches erfüllt.
  4. d) Ereignis. A: Die Zahl wurde richtig gewählt.
  5. e) Unter fünf ungeraden Ziffern ist nur eine korrekt, daher beträgt die Anzahl der für Ereignis A günstigen Ergebnisse 1, m = 1.
  6. f) P(A) = 0,2

Ergebnis: P (A) = 0,2.

 

3. Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Summe zweier Ereignisse A und B wird als Ereignis AÈB (A + B) bezeichnet. Dies besteht darin, dass mindestens eines der Ereignisse A oder B eintritt (entweder Ereignis A oder Ereignis B oder A und B) gleichzeitig).[8]

Das Produkt (oder der Schnittpunkt) zweier Ereignisse A und B wird als Ereignis AÇВ (AB) bezeichnet und besteht aus dem gleichzeitigen Auftreten von Ereignissen A und Ereignissen B.

Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier Ereignisse wird nach der Formel berechnet (Additionssatz)

.

Ereignisse A1, A2, …, Ak bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen, wenn als Ergebnis des Versuches eines von ihnen sicher auftreten wird, d.h.

.

Ereignisse A und B werden als inkonsistent (nicht überschneidend) bezeichnet, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können АÇВ = Æ. Wenn die Ereignisse inkonsistent sind, dann

P (AB) = 0 und P (A + B) = P (A) + P (B).

 

Fazit

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die Gesetzmäßigkeiten zufälliger Phänomene untersucht: zufällige Ereignisse, zufällige Variablen, ihre Eigenschaften.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie hatte lange Zeit keine klare Definition. Es wurde erst 1929 formuliert. Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand als Wissenschaft aus dem Glauben, dass bestimmte Regeln im Zentrum zufälliger Massenereignisse liegen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht diese Gesetzmäßigkeiten.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit der Untersuchung von Ereignissen, deren Auftreten nicht sicher bekannt ist. Es ermöglicht es, den Grad der Wahrscheinlichkeit des Auftretens einiger Ereignisse im Vergleich zu anderen zu beurteilen.

 

Literaturverzeichnis

Rosenthal J. (2014): Wahrscheinlichkeiten als Tendenzen. Eine Untersuchung objektiver Wahrscheinlichkeitsbegriffe. Mentis, Paderborn, S. 55-67.

Meschkowski H. (2008): Wahrscheinlichkeitstheorie, B.I. Hochschultaschenbücher, Mannheim/Wien/Zürich, S. 21-31.

Bauer H. (2011): Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie. 4. Auflage. de Gruyter, Berlin, S. 101-103.

Georgii H-O. (2015): Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 5. Auflage. de Gruyter, S. 81-33.,

Krengel U. (2015): Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden, S. 98-104.

Kusolitsch N. (2014): Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, S. 31-39.

Dehling, H. Haupt B. (2003): Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Springer, Berlin, S. 9-15.

 

 

 

Anhang

Aufgabe

Es sind 10 rote und 5 blaue Knöpfe in der Box. Zwei Knöpfe werden zufällig herausgenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Knöpfe die gleiche Farbe haben?

Lösung

Ereignis A = {herausgenommene Knöpfe haben die gleiche Farbe} kann als Summe dargestellt werden , wobei Ereignisse  und Stichproben von Knöpfen in Rot bzw. in Blau bedeuten. Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Knöpfe herauszuziehen, ist

 

und die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Knöpfe herauszuziehen, ist

.

Da Ereignisse  und können nicht gleichzeitig auftreten, wird aufgrund des Additionssatzes Folgendes erhalten

 

Zusätzlich zur üblichen (bedingungslosen) Wahrscheinlichkeit kann man die sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeit berücksichtigen, die unter der Bedingung berechnet wird, dass Ereignis B eingetreten ist. Eine solche Wahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeit A unter Bedingung B) wird als P (A | B) bezeichnet und unter Verwendung einer von zwei Formeln berechnet:

 

Diese Formel impliziert die Formel für die Wahrscheinlichkeit des Produkts zweier Ereignisse (Multiplikationssatz):

 

Multiplikationsformel für drei Ereignisse:

.

 

[1] Vgl. Krengel, 2015, S. 98-104

[2] Vgl. Krengel, 2015, S. 98-104

[3] Vgl. Krengel, 2015, S. 98-104

[4] Vgl. Bauer, 2011, S. 101-103

[5] Vgl. Bauer, 2011, S. 101-103

[6] Vgl. Krengel, 2015, S. 98-104

[7] Vgl. Bauer, 2011, S. 101-103

[8] Vgl. Bauer, 2011, S. 101-103

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